kopfakrobaten - Hinweise zum Zahlen-Dreieck

Ein Zahlen-Dreieck (3)

Bevor wir auf die Fragen eingehen, eine paar allgemeine Beobachtungen:

Ab der zweiten Zeile entstehen die Ziffern immer in Zweiergruppen: 1x 1, 2x 1, 1x 2, ... Wie bei Brüchen könnte man auch hier die jeweils erste Zahl mit "Zähler" und die jeweils zweite Zahl mit "Nenner" bezeichnen.
Da immer alle gleichen aufeinanderfolgenden Zahlen zusammengefasst werden, können die "Nenner" aufeinanderfolgender Zweiergruppen nicht gleich sein: die zweite Zahl einer Zeile ist immer verschieden von der vierten Zahl dieser Zeile, diese wiederum ist immer verschieden von der sechsten Zahl usw.

Nun zu den einzelnen Fragen:

Ab der sechsten Zeile kommt ein Dreier vor, in der elften Zeile gibt es zwei Dreier hintereinander, da in der zehnten Zeile auf einen Dreier drei Einser folgen:

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... 3 1 1 1 ...

... 1 3 3 1 ...

...

Drei 3-er hintereinander könnten nur vorkommen, wenn in der Zeile davor schon drei 3-er hintereinander stünden. Da das zu Beginn nicht der Fall ist, kommt es auch nie vor. Vier gleiche Zahlen könnten nur vorkommen, wenn in einer Zeile die "Nenner" aufeinanderfolgender Zweiergruppen gleich sind, was aber gegen die Bildungsregel verstößt; daher kann ein 4-er niemals auftreten.
Eine kurze, exakte Begründung, warum ein 2-er nach der zweiten Zeile nie wieder an erster Stelle auftreten kann, kenne ich nicht. Ausgehend von einem Zweier am Beginn einer Zeile kann man mit ein paar Fallunterscheidungen zeigen, dass ein paar Zeilen vorher auch schon ein Zweier gewesen sein müsste. Da aber nach dem Zweier am Beginn der zweiten Zeile länger kein Zweier mehr auftritt, kann auch keiner mehr kommen.
Dass eine Zeile nie kürzer als die vorhergehende sein kann, kann man sich wie folgt überlegen. Nur wenn drei gleiche Zahlen hintereinanderstehen, ist die entsprechende Zweiergruppe der nächsten Zeile um eine Zahl kürzer (Z Z Z wird zu 3 Z). Bei zwei gleichen Zahlen hintereinander ändert sich in der Länge der nächsten Zeile nichts (Z Z wird zu 2 Z). Bei alleine stehenden Zahlen ist die entsprechende Zweiergruppe der nächsten Zeile um eine Zahl länger (Z wird zu 1 Z). Soll also eine Zeile kürzer sein als die vorhergehende, dann müssten mehr Dreiergruppen als einzelne Zahlen vorkommen.
Von drei gleichen aufeinanderfolgenden Zahlen müssen aber die erste und letzte an einer ungeraden Position der Zeile stehen, da die "Nenner" aufeinanderfolgender Zweiergruppen verschieden sind; nur die "Zähler" können gleich sein. Auf drei gleiche Zahlen können daher nicht gleich wieder drei gleiche Zahlen folgen; bevor wieder drei gleichen Zahlen auftauchen können oder das Zeilenende erreicht wird, muss mindestens einmal eine Zahl alleine auftreten. Daher gibt es mindestens soviele einzelen Zahlen wie Dreiergruppen gleicher Zahlen.

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Letzte Änderung: 13. Oktober 2007

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